Casse-Tête

« Fais la division de 1 par 7 jusqu’à 4 ou 5 chiffres après la virgule.

Je parie que je pourrais t’indiquer n’importe quel chiffre à droite de la virgule en moins de 20 secondes... et sans l’aide d’une calculatrice! Ainsi le 3e chiffre après la virgule est 2. Le 10e chiffre est 8, le 1566e chiffre est 7... Est-ce possible ? »

Solution:

1/7 représente un nombre rationnel. Il admet donc une écriture décimale périodique : 1/7 = 0,1428571427..… (période de 6 chiffres) Les postions respectives après la virgule sont déterminées à partir des restes dans la division par 6. Ainsi le chiffre 2 figure aux positions 3, 9, 15, ... (reste 3 dans la division par 6). Il s’agit donc de trouver rapidement par un calcul mental le reste d’une position demandée dans la division par 6. Or diviser par 6, c’est diviser par 3 puis par 2 et nous pouvons utiliser les critères de divisibilité bien connus.

Voici deux exemples:

Trouver le 1.784e chiffre de 1 : 7 après la virgule. s = 1 + 7 + 8 + 4 = 20 (Le reste de 20 dans la division par 3 est 2.) Donc 1784 - 2 =7128s est divisible par 3 ... et par 2, donc par 6. Le chiffre cherché est donc celui qui correspond à un reste 2 (dans la division par 6) ; c’est 4. Quel est le 10.000e chiffre ? (reste 1 dans la division par 3), 9999 est divisible par 3 mais non par 2. Le reste de la division de 10.000 par 6 est donc 4 et le chiffre cherché est un 8.

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